Однополостный гиперболоид

Однополосным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением (1) Из уравнения (1) вытекает, что координатные плоскости являются плоскостями симметрии, а начало координат — центром симметрии однополостного гиперболоида.

Уравнение (1) называется каноническим уравнением однополосного гиперболоида. Если однополостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением (1) то оси Ох, Оу и Oz называются его главными осями.

Установим вид поверхности (1). Для этого рассмотрим сечение ее координатными плоскостями Oxy ( y =0) и Oyx ( x =0). Получаем соответственно уравнения и из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы. Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z = h , параллельными координатной плоскости Oxy . Линия, получающаяся в сечении, определяется уравнениями или из которых следует, что плоскость z = h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями и достигающими своих наименьших значений при h =0, т.е. в сечении данного гиперболоида координатной осью Oxy получается самый маленький эллипс с полуосями a *= a и b *= b . При бесконечном возрастании величины a * и b * возрастают бесконечно. Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить однополосный гиперболоид в виде бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся по мере удаления (по обе стороны) от плоскости Oxy . Величины a , b , c называются полуосями однополосного гиперболоида.

Исследование поверхности методом параллельных сечений. Суть метода заключается в выяснении формы линий пересечения поверхности с плоскостями, параллельными координатным плоскостям.

Рассмотрим линии пересечения с плоскостями, параллельными плоскости OXY . Все уравнения линий пересечений будут получаться из уравнения плоскости, в котором z будет заменена на некоторое число, равное расстоянию от пересекающей плоскости до плоскости OXY . Для более наглядного представления, я изобразил все полученные кривые в виде проекций на плоскость OXY . Изображения кривых представлены выше.

Величины a , b , c называются полуосями однополосного гиперболоида. Если a = b ,то гиперболоид может быть получен вращением гиперболы с полуосями а и с вокруг мнимой оси 2с. Одним из примеров такой поверхности является конструкция радиобашни построенной по принципу сетчатых конструкций на Шаболовке (г.