Комплексные числа

Комплексные числа

Рассмотрим прямоугольную систему координат на плоскости.

Каждому комплексному числу z = a + ib поставим в соответствие точку M ( a , b ) координатной плоскости, т.е. точку, абсцисса которой равна Re z = a , а ордината равна Im z = b . Обратно, каждой точке плоскости с координатами ( a , b ) поставим в соответствие комплексное число z = a + ib .Сама координатная плоскость называется при этом комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, а ось ординат – мнимой. Не менее важной и удобной является интерпретация комплексного числа a + ib как вектор . 4. Модуль комплексного числа.

Модулем комплексного числа z = a + ib называется длина вектора, соответствующего этому числу.

Модуль обозначается или буквой r . Применяя теорему Пифагора, получим, что = . Пусть z = a + ib . Число a – ib называется комплексно сопряжённым с числом z = a + ib и обозначается = a – ib . Заметим , что = = , z 2 + b 2 = 2 = 2 , Пример 1. Запишите z в алгебраической форме, если а) б) Пример 2. Запишите решения системы а) б) в алгебраической форме.

Решение : а) б) Пример 3.Существуют ли такие действительные числа x и y , для которых числа z 1 и z 2 являются сопряжёнными а ) z 1 =8x 2 – 20i 15 , z 2 =9x 2 – 4+ 10yi 3 ; б )z 1 =4x + y+(1+I)y, z 2 =8 + ix. Решение : а ) z 1 =8x 2 – 20i 15 =8x 2 + 20i; z 2 =9x 2 – 4+ 10yi 3 =9x 2 - 4 - 10yi; Используя определение сопряжённых комплексных чисел, получим систему: откуда такие сопряжённые числа существуют. б )z 1 =4x + y + (1+i)y = 4x +2y+yi; z 2 =8+ ix . Используя определение сопряжённых комплексных чисел, получим систему: откуда такие сопряжённые числа существуют. 5. Геометрический смысл сложения, вычитания и модуля разности двух комплексных чисел.

z 1
M 1
y
z 1 = a 1 + ib 1 и z 2 = a 2 + ib 2 .Им соответствуют векторы с координатами ( a 1 , b 1 ) и ( a 2 , b 2 ). Тогда числу z 1 + z 2 = a 1 + a 2 + i ( b 1 + b 2 ) будет соответствовать вектор с координатами ( a 1 + a 2 , b 1 + b 2 ).Таким образом, чтобы найти вектор, соответствующий сумме комплексных чисел z 1 и z 2 , надо сложить векторы, отвечающие комплексным числам z 1 и z 2 .
z 2 -z 1
M
z 2
-z 1
M
M 2
x
z 1 - z 2 комплексных чисел z 1 и z 2 соответствует разность векторов, Соответствующих числам z 1 и z 2 .Модуль двух комплексных чисел z 1 и z 2 по определению модуля есть длина вектора z 1 - z 2 .Построим вектор, как сумму двух векторов z 2 и (- z 1 ). Получим вектор , равный вектору .Следовательно, есть длина вектора ,то есть модуль разности двух комплексных чисел есть расстояние между точками комплексной плоскости, которые соответствуют этим числам.
b
z=a+ ib
y
6. Аргументы комплексного числа.

Аргументом комплексного числа z = a + ib z ; величина угла считается положительной если отсчет производится против часовой стрелки, и отрицательной, если отсчет производится по часовой стрелке. Для обозначения того факта, что число j является аргументом числа z = a + ib , пишут j = arg z или j = arg ( a + ib ).

j-2p
a
j
x
z =0 аргумент не определяется.

Поэтому во всех последующих рассуждениях, связанных с понятием аргумента будем считать, что z =0 – единственное число, которое определяется заданием только его модуля С другой стороны, если задано комплексное число, то, очевидно, модуль этого числа всегда определён единственным образом в отличие от аргумента, который всегда определяется неоднозначно: если j - некоторый аргумент числа z ,то углы j +2 p k , z . Из определения тригонометрических функций следует, что если j = arg ( a + ib ),то имеет место следующая система или Пример 4. Сколько решений имеет система уравнений а) б) в) Решение:

1
i
найдём модуль1- i : . Заметим, что никакая точка большей окружности не приближена к меньшей на расстояние, равное
i
1
i только одной точки меньшей окружности мы получаем что эта точка попадает на другую окружность.
i
корень
корни
1
7.Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа.

Запись комплексного числа z в виде a + ib называется алгебраической формой комплексного числа.

Рассмотрим другие формы записи комплексных чисел. Пусть r - модуль, а j - какой-либо из аргументов комплексного числа z = a + ib , то есть r = j = arg ( a + ib ). Тогда из формулы (5) следует, что Запись комплексного числа в виде тригонометрической формой. Для того чтобы перейти от алгебраической формы комплексного числа a + ib к тригонометрической, достаточно найти его модуль и один из аргументов.

Пример 5. Какое множество точек комплексной плоскости задаётся условием а) б) в)

а)
д)
1
i
1
i
б)
i и вправо на 1 поучались бы равноудалёнными от начала координат, откуда чтобы построить множество точек, удовлетворяющих данному условию, мы должны: 1) 2) влево и на i вверх
в)
- i чем к 2 i ,а эти точки указаны на рисунке.
i p/3 i
p/3
i
г)
1
д)
это будут точки удалённые от начала координат не более чем на 1 и при этом исключая число 0. Учитывая второе и третье условие, получим:
е)
е) Чтобы построить точки, удовлетворяющие первому условию, надо сдвинуть точки, удалённые на расстояние 1, на 1 вправо. При этом, учитывая другие условия, получим искомое множество точек.

Пример 6. Будет ли тригонометрической формой числа а) б) в) Решение: Тригонометрической формой записи числа только будет выражение а), так как только оно удовлетворяет определению тригонометрической формы записи числа( 8. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Пусть Тогда модуль и произведение двух комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей, а сумма аргументов сомножителей является аргументом произведения. Пусть Таким образом, модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя, а разность аргументов делимого и делителя является аргументом частого. 9. Возведение в степень и извлечение корня.

Формула (6) для произведения двух комплексных чисел может быть обобщена на случай Отсюда, как частный случай, получается формула, дающая правило возведение комплексного числа в целую положительную степень: (8) Таким образом, при возведении комплексного числа в степень с натуральным показателем его модуль возводится в степень с тем же показателем, а аргумент умножается на показатель степени.

Формула (8) называется формулой Муавра. Число из числа w ( обозначается Если w =0, то при любом n уравнение z =0. Пусть теперь z и w в тригонометрической форме: Тогда уравнение примет вид Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на число, кратное 2 p . Следовательно, или Таким образом, все решения уравнения В самом деле, придавая числу k в формуле (9)целые значения, отличные от 0, 1, …, ( n -1), мы не получаем других комплексных чисел.

Формула (9) называется второй формулой Муавра. Таким образом, если n корней степени n из числа w : все они содержатся в формуле(9). В частности, если уравнение имеет два корня: то есть эти корни симметричны относительно начала координат. Также из формулы (9) нетрудно получить, что если n -угольника, вписанного в окружность с центром в точке z =0 и радиусом Из сказанного выше следует, что символ i иi ,или одно, и, если одно, то какое именно.

рыночная оценка акций в Орле
кадастровая стоимость в Брянске
оценка залива квартиры в Туле